Semestre 5
97,5 heures
UE Algèbre linéaire 4 19.5h de CM & 19.5h de TD
UE Analyse complexe 19.5h de CM & 39h de TD
Prérequis de L2
Modules Mathématiques : M3a-UE Séries , M3b-M, M4a-M, M4b-M
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UE Algèbre linéaire 4
Prérequis pédagogiques de L2
Modules Mathématiques : M3b-UE Algèbre linéaire 3, M4a-M
Enjeux du cours
Approfondir la mise en œuvre de la réduction des applications linéaires.
Contenu du cours
Trigonalisation des matrices : Matrices triangulaires, matrices trigonalisables. Caractérisation par le caractère scindé du polynôme caractéristique, cas complexe.
Polynômes d’endomorphismes et de matrices : Polynômes d’endomorphismes, polynômes annulateurs, polynôme minimal, théorème de Cayley-Hamilton. Sous-espace stables, endomorphismes induits, lemme des noyaux, sous-espaces caractéristiques, application à la diagonalisation et la trigonalisation. Matrices nilpotentes, décomposition de Dunford, réduction de Jordan. Application au calcul des puissances et de l’exponentielle des matrices.
Espaces hermitiens : Formes sesquilinéaires, produits scalaires hermitiens, normes hermitiennes, inégalités de Cauchy-Schwarz, formule de polarisation. Orthogonalité, sous-espaces orthogonaux, projection orthogonale. Endomorphismes adjoints et unitaires. Endomorphismes hermitiens et normaux, théorème spectral.
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UE Analyse complexe
Prérequis pédagogiques de L2
Modules Mathématiques : M3a-UE Séries, M3b- UE Fonctions de plusieurs variables, M4b-M
Enjeux du cours
Acquérir les bases de l’analyse complexe
Contenu du cours
Fonctions analytiques : Rappels sur les séries entières, rayon et disque de convergence, opérations élémentaires, continuité et dérivabilité. Fonctions analytiques, caractère holomorphe des fonctions analytiques. Connexité, connexité par arcs, principe du prolongement analytique et des zéros isolés. Exponentielle complexe, fonctions hyperboliques et trigonométriques, détermination du logarithme.
Fonctions holomorphes : Fonctions holomorphes, conditions de Cauchy-Riemann. Intégrale sur des chemins, indice d’un point par rapport à un lacet. Formule de Cauchy, primitives des fonctions holomorphes, analycité des fonctions holomorphes. Inégalités de Cauchy, théorème de Liouville, d’Alembert-Gauss. Fonctions harmoniques, lien avec les fonctions holomorphes, propriétés de la moyenne, principe du maximum. Singularités des fonctions holomorphes, séries de Laurent, fonctions méromorphes, théorème des résidus.
