Semestre 6
97,5 heures
UE Analyse de Fourier 19.5h de CM & 19.5h de TD
Choix entre :
Parcours mathématiques : UE Espaces vectoriels normés 39h de CM & 19.5h de TD
Parcours enseignement : UE Analyse approfondie pour l'enseignement 19.5 de CM & 39h de TD
Prérequis de L2 et de L3
Modules Mathématiques : M3a-Séries, M4b-M, M5a- UE Théorie de la mesure
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UE Analyse de Fourier
Prérequis pédagogiques de L2
Modules Mathématiques : M3a-UE Séries, M4b-M, M5a-UE Théorie de la mesure
Enjeux du cours
Approfondir l’étude de l’analyse de Fourier
Contenu du cours
Espaces de Hilbert : Espaces de Hilbert, exemples des espaces l2 et L2. Projection sur un convexe fermé, projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel fermé, sous-espace orthogonal. Espaces de Hilbert Séparables, bases hilbertiennes, inégalité de Bessel, formule de Parseval.
Série de Fourier : Coefficients et séries de Fourier sur l’espace L1, lemme de Riemann-Lebesgue. Noyau de Dirichlet, théorème de Dirichlet. Convolution, approximations de l’identité. Noyau de Fejér, théorème de Weierstrass trigonométrique. Interprétation hilbertienne des séries de Fourier, inégalité de Bessel, formule de Parseval.
Transformation de Fourier : Transformation de Fourier sur l’espace L1, formule de Fourier inverse. Transformation de Fourier sur l’espace L2, énoncé et applications du théorème de Plancherel.
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UE Espaces vectoriels normés
Prérequis pédagogiques de L2
Modules Mathématiques : M3a-UE Séries, M3b- UE Fonctions de plusieurs variables, M4b-M
Enjeux du cours
Approfondir l’étude des espaces vectoriels normés et du calcul différentiel.
Contenu du cours
Espaces vectoriels normés : Rappels sur les normes, équivalence des normes, normes sur les espaces de suites et les espaces de fonctions continues bornée. Applications linéaires et multilinéaires continues, norme d’une application linéaire continue. Complétude, espaces de Banach, exemples classiques. Compacité, énoncé de l’équivalence des propriétés de Bolzano-Weierstrass et de Borel-Lebesgue, énoncé du théorème de Riesz.
Calcul différentiel : Applications différentiables, de classe C1, théorème des accroissements finis. Applications lipschitziennes, contractantes, théorème du point fixe. Théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites. Dérivation d’ordre supérieur, fonctions de classe Ck, formules de Taylor.
Équations différentielles : Théorème de Cauchy-Lipschitz, cas linéaire, dépendance par rapport aux données initiales. Solutions maximales, globales, principe de majoration a priori, lemme de Grönwall.
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UE Analyse approfondie pour l’enseignement
Prérequis pédagogiques L2
Modules Mathématiques : M4b-M
Enjeux du cours
On admet l'existence du corps des réels ayant la propriété de la borne supérieure puis on construit. C'est cet aspect de la construction de la théorie qui est au centre du cours. La plupart des notions sont connues des étudiants, elles sont reprises avec ordre et rigueur pour donner aux étudiants le recul nécessaire à l'enseignement de la discipline.
Contenu du cours
Suite de nombres réels/complexes.
Les démonstrations à connaître sont :
Opérations sur les limites, passage à la limite dans les inégalités.
Suites adjacentes et l’application à la borne supérieure.
Écriture décimale des réels.
Étude des fonctions.
Les démonstrations à connaître sont :
Opérations sur les fonctions continues comme somme, produit, composée.
Théorème des valeurs intermédiaires, l’image d’un segment par une fonction continue.
Formule de dérivation : produit de fonctions, composée de fonctions.
Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, inégalité des accroissements finis.
Caractérisation des fonctions convexes.
Fonctions classiques.
Les démonstrations à connaître sont :
Définition de l’exponentielle réelle.
Définition de l’exponentielle complexes.
Définition du logarithme népérien.
Définition des fonctions trigonométriques directes et réciproques.
