Semestre 6
97,5 heures
UE Géométrie 19.5h de CM & 19.5h de TD
UE Probabilités et statistiques 19.5h de CM & 39h de TD
Prérequis de L2 et de L3
Modules Mathématiques : M3a-M, M3b-UE Algèbre linéaire 3, M4a-M, M5b-UE Algèbre linéaire 4, M5a-UE Théorie de la mesure
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UE Géométrie
Prérequis pédagogiques de L2 et L3
Modules Mathématiques : M3b-UE Algèbre linéaire 3, M4a-M, M5b-UE Algèbre linéaire 4
Enjeux du cours
Acquérir les bases de l’étude des transformations géométriques.
Contenu du cours
Géométrie vectorielle : Groupe linéaire, groupe spécial linéaire. Projecteurs, symétries, transvections, dilatations.
Géométrie affine : Espaces affines, sous-espaces affines, repères affines, applications affines. Groupe affine, homothéties, translations, affinités. Barycentres, parties convexes, enveloppe convexe, points extrémaux.
Géométrie euclidienne : Groupe orthogonal, groupe spécial orthogonal, réflexions, rotations. Isométries affines, déplacements, antidéplacements, similitudes. Classification des isométries et similitudes en dimension 2. Utilisation des nombres complexes en géométrie plane.
Géométrie projective : Plan et espace projectifs, hyperboliques.
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UE Probabilités et Statistiques
Prérequis pédagogiques de L2 et L3
Modules Mathématiques : M3a-M, M4b-M, M5a-UE Théorie de la mesure
Enjeux du cours
Approfondir l’étude des probabilités et aborder celle des statistiques.
Contenu du cours
Espace probabilisé et opération sur les probabilités : Tribus d’événements, mesure de probabilité, espace probabilisé.
Variables et vecteurs aléatoires : Variables aléatoires, loi, fonction de répartition, espérance, variance. Inégalités remarquables comme inégalité de Markov, inégalité de Bienaimé-Tchebychev, rappel de l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Rappels sur les variables aléatoires discrètes, lois usuelles : uniforme, Bernoulli, binomiale, hypergéométrique, géométrique, Poisson. Variables aléatoires à densité, lois usuelles : uniforme, normale, exponentielle, gamma. Changement de lois. Vecteurs aléatoires, lois marginales, indépendance de variables aléatoires. Fonctions caractéristiques et fonctions génératrices.
Théorème limites : Modes de convergence des suites de variables aléatoires, convergences en moyenne, en moyenne quadratique, en probabilité, presque sûre, en loi. Rappels du théorème de convergence monotone et du théorème de convergence dominée. Lois faible et forte des grands nombres et théorème central limite.
Introduction aux statistiques : Estimation ponctuelle, statistiques d’échantillonnage : moyenne et variance empiriques. Biais d’un estimateur, consistance. Estimation par intervalle de confiance.
