IST Syllabus L2 Programme UE Analyse 3

Semestre 4

UE Analyse 3

19.5h de CM & 39h de TD    
 

Prérequis pédagogiques de L1 et L2

Analyse 1, Analyse 2, M3a Séries, M3b Algèbre linéaire 3 et Fonctions de plusieurs variables

Compétences visées

Approfondir les connaissances en analyse fonctionnelle, en résolution des équations différentielles et en topologie.

Contenu du cours

Espaces vectoriels normés de dimension finie : Normes, distances, équivalence des normes ; Convergence des suites, suites extraites, valeurs d’adhérence ; Boules, ouverts, voisinages, intérieurs ; Fermés, adhérences, compacts ; Topologie de R : caractérisation des compacts en tant que fermés bornés ; Fonctions d’une variable réelle : continuité, continuité uniforme, cas compact, théorème de Heine ; Suites de Cauchy, complétude, théorème du point fixe.

Suites de fonctions d’une variable réelle : Convergences simple et uniforme, norme uniforme ; Préservation de la continuité ; Intégration sur un segment de la fonction somme, primitive d'une suite de fonctions ; Préservation de la dérivabilité ; Application aux séries de fonctions.

Équations différentielles linéaires : Système différentiel linéaire, problème de Cauchy, énoncé du théorème de Cauchy linéaire ; Équations homogènes, avec second membre, structures de l’ensemble des solutions ; Exponentielle d’une matrice, calcul de l’exponentielle dans le cas diagonalisable ; Systèmes différentiels à coefficients constants, méthode de variation de la constante dans le cas constant.