IST Syllabus L3 Programme Majeure 5a mathématiques

Semestre 5 

97.5 heures

Prérequis de L2

Modules Mathématiques : M3a-M, M3b-UE Fonction de plusieurs variables, M4b-M

Parcours mathématiques

UE Analyse numérique  19.5h de CM & 19.5h de TD

Prérequis pédagogiques de L2
Modules Mathématiques : M3a-UE Séries, M3b-UE Fonction de plusieurs variables, M4b-M

Enjeux du cours
Acquérir les bases de l’analyse numérique dans le cadre des fonctions de la variable réelle et les mettre en œuvre dans le langage Python.

Contenu du cours
Calcul approché des zéros d’un fonction : Méthodes itératives, estimation de l’erreur, vitesse de convergence, méthodes de Picard et Newton. Méthodes d’encadrement, méthode de la dichotomie.
Approximation polynomiale : Interpolation de Lagrange, estimation de l’erreur d’interpolation. Énoncé du théorème de Weierstrass, polynôme de meilleure approximation quadratique, polynômes orthogonaux.
Calcul approché d’intégrales : Méthodes de quadratures élémentaires et composées, méthodes des rectangles. Méthodes de Newton-Cotes, méthode des trapèzes. Méthodes de Gauss.
Résolution approchée des équations différentielles ordinaires : Méthodes à un pas, méthodes d’Euler, critères de consistance, de stabilité, de convergence, ordre d’une méthode. Méthodes de Runge-Kunta.

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UE Théorie de la mesure 39h de CM & 19.5h de TD 

Prérequis pédagogiques de L2
Modules Mathématiques : M3a-M, M3b- UE Fonctions de plusieurs variables, M4b-M

Enjeux du cours
Acquérir les bases de la théorie de la mesure

Contenu du cours
Espaces mesurables : Tribus, ensembles mesurables, tribu de Borel. Mesures positives, mesure de Lebesgue, mesures de comptage, ensembles négligeables.
Intégration des fonctions mesurables : Fonctions étagées, mesurables, approximation par les fonctions étagées. Intégrale d’une fonction étagée, d’une fonction mesurable, théorème de convergence monotone, lemme de Fatou. Fonctions intégrables, théorème de la convergence dominée. Intégrale dépendant d’un paramètre, théorèmes de continuité et de dérivabilité.
Intégration sur les espaces produits : Tribus et mesures produit. Théorème de Fubini. Changements de variables dans Rⁿ.
Espaces de Lebesgue : Espaces de Lebesgue, inégalités de Hölder, de Minkowski, théorème de Riesz-Fisher. Densité des fonctions continues, convolution, densité des fonctions régulières.

Parcours mathématiques pour l'enseignement (préparation au CAPES mathématiques)

UE Analyse numérique  19.5h de CM & 19.5h de TD

Prérequis pédagogiques de L2
Modules Mathématiques : M3a-UE Séries, M3b-UE Fonction de plusieurs variables, M4b-M

Enjeux du cours
Acquérir les bases de l’analyse numérique dans le cadre des fonctions de la variable réelle et les mettre en œuvre dans le langage Python.

Contenu du cours
Calcul approché des zéros d’un fonction : Méthodes itératives, estimation de l’erreur, vitesse de convergence, méthodes de Picard et Newton. Méthodes d’encadrement, méthode de la dichotomie.
Approximation polynomiale : Interpolation de Lagrange, estimation de l’erreur d’interpolation. Énoncé du théorème de Weierstrass, polynôme de meilleure approximation quadratique, polynômes orthogonaux.
Calcul approché d’intégrales : Méthodes de quadratures élémentaires et composées, méthodes des rectangles. Méthodes de Newton-Cotes, méthode des trapèzes. Méthodes de Gauss.
Résolution approchée des équations différentielles ordinaires : Méthodes à un pas, méthodes d’Euler, critères de consistance, de stabilité, de convergence, ordre d’une méthode. Méthodes de Runge-Kunta.

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UE Algèbre et Géométrie pour l’enseignement  19h de CM & 39h de TD

Prérequis pédagogiques L1
Modules Mathématiques : M1a, M2a

Enjeux du cours
Préparation au concours de CAPES 2nd degré en mathématiques

Contenu du cours
Programme spécifique pour la première épreuve d’admissibilité

Raisonnement et vocabulaire ensembliste
Opérateurs logiques et quantificateurs. Vocabulaire de la théorie des ensembles. Applications, relations d’ordre et relations d’équivalence.

Nombres complexes
Module et argument. Racines n-ièmes de l’unité. Exponentielle complexe, trigonométrie. Applications à la géométrie plane. Équation du second degré.

Fonctions d’une variable réelle Continuité, théorème des valeurs intermédiaires. Dérivabilité, théorème de Rolle, inégalité des accroissements finis. Extension aux fonctions à valeurs complexes. Fonctions à valeurs dans R2 . Courbes paramétrées.

Calcul intégral et équations différentielles
Intégrale d’une fonction continue sur un segment, sommes de Riemann. Calculs de primitives. Intégration par parties, changement de variable. Formule de Taylor avec reste intégral. Intégrales généralisées. Équations différentielles linéaires du premier ordre, du premier ordre à variables séparables, linéaires du second ordre à coefficients constants.

Nombres réels et suites réelles
Construction de N, Z et Q. Présentation axiomatique de R, bornes supérieure et inférieure. Valeurs approchées, nombres décimaux. Limite d’une suite réelle, théorèmes d’existence. Suites extraites. Extension aux suites à valeurs complexes. Séries numériques, séries à termes positifs, séries absolument convergentes, séries de références (séries géométriques, séries de Riemann).

Suites et séries de fonctions
Convergence simple, convergence uniforme. Théorèmes de régularité. Convergence normale des séries de fonctions. Séries entières, rayon de convergence. Développement en série entière des fonctions usuelles.

Analyse asymptotique Relations de comparaison des suites et des fonctions. Développements limités.

Algèbre linéaire Systèmes linéaires, algorithme du pivot de Gauss-Jordan. Espaces vectoriels de dimension finie, familles libres, familles génératrices, bases. Applications linéaires. Homothéties, projections et symétries. Rang d’une application linéaire. Représentations matricielles d’un endomorphisme. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées : éléments propres, diagonalisation, trigonalisation.

Matrices et déterminants
Calcul matriciel, matrices inversibles, transposition. Matrices et applications linéaires, changement de base. Équivalence, similitude. Déterminant d’une matrice carrée, d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie.

Dénombrement
Cardinal d’un ensemble fini, listes, combinaisons, factorielles, formule du binôme.

Arithmétique des entiers Arithmétique des entiers : nombres premiers, PGCD, PPCM, algorithme d’Euclide. Sous-groupes de Z. Congruences. Anneaux Z∕nZ. Théorème des restes chinois, petit théorème de Fermat.

Polynômes Arithmétique des polynômes à coefficients réels ou complexes. Racines. Décomposition dans R[X] et C[X].

Groupes Sous-groupes, morphismes de groupes. Groupes monogènes et groupes cycliques : groupes Z/nZ, groupe des racines n-ièmes de l’unité ; générateurs, indicatrice d’Euler. Ordre d’un élément. Groupes symétriques. Exemples de groupes agissant sur un ensemble, exemples de groupes laissant invariante une partie du plan ou de l’espace.

Produit scalaire et espaces euclidiens
Produit scalaire sur un espace de dimension finie, norme associée, orthogonalité. Bases orthonormées. Projections orthogonales. Orientation. Groupes des isométries vectorielles, des isométries affines, des similitudes. Isométries vectorielles d’un espace euclidien de dimension 2 ou 3. Isométries affines du plan euclidien.

Probabilités
Espaces probabilisés finis. Probabilités conditionnelles, conditionnement et indépendance. Variables aléatoires sur un univers fini : lois usuelles (loi uniforme, loi binomiale), variables aléatoires indépendantes, espérance, variance et écart-type. Variables aléatoires discrètes : espérance et variance, loi de Poisson, loi géométrique.