IST Syllabus L3 Programme Majeure M5a mathématiques

Semestre 5 

97.5 heures

UE Analyse numérique 19.5h de CM & 19.5h de TD

Au choix :

Parcours mathématiques : UE Théorie de la mesure 39h de CM & 19.5h de TD 

Parcours enseignement : UE Algèbre et géométrie pour l'enseignement 19h de CM & 39h de TD

Prérequis de L2

Modules Mathématiques : M3a-M, M3b-UE Fonction de plusieurs variables, M4b-M

******************************************************************************************

UE Analyse numérique

Prérequis pédagogiques de L2
Modules Mathématiques : M3a-UE Séries, M3b-UE Fonction de plusieurs variables, M4b-M

Enjeux du cours
Acquérir les bases de l’analyse numérique dans le cadre des fonctions de la variable réelle et les mettre en œuvre dans le langage Python.

Contenu du cours
Calcul approché des zéros d’un fonction : Méthodes itératives, estimation de l’erreur, vitesse de convergence, méthodes de Picard et Newton. Méthodes d’encadrement, méthode de la dichotomie.
Approximation polynomiale : Interpolation de Lagrange, estimation de l’erreur d’interpolation. Énoncé du théorème de Weierstrass, polynôme de meilleure approximation quadratique, polynômes orthogonaux.
Calcul approché d’intégrales : Méthodes de quadratures élémentaires et composées, méthodes des rectangles. Méthodes de Newton-Cotes, méthode des trapèzes. Méthodes de Gauss.
Résolution approchée des équations différentielles ordinaires : Méthodes à un pas, méthodes d’Euler, critères de consistance, de stabilité, de convergence, ordre d’une méthode. Méthodes de Runge-Kunta.

******************************************************************************************

UE Théorie de la mesure

Prérequis pédagogiques de L2
Modules Mathématiques : M3a-M, M3b- UE Fonctions de plusieurs variables, M4b-M

Enjeux du cours
Acquérir les bases de la théorie de la mesure

Contenu du cours
Espaces mesurables : Tribus, ensembles mesurables, tribu de Borel. Mesures positives, mesure de Lebesgue, mesures de comptage, ensembles négligeables.
Intégration des fonctions mesurables : Fonctions étagées, mesurables, approximation par les fonctions étagées. Intégrale d’une fonction étagée, d’une fonction mesurable, théorème de convergence monotone, lemme de Fatou. Fonctions intégrables, théorème de la convergence dominée. Intégrale dépendant d’un paramètre, théorèmes de continuité et de dérivabilité.
Intégration sur les espaces produits : Tribus et mesures produit. Théorème de Fubini. Changements de variables dans Rⁿ.
Espaces de Lebesgue : Espaces de Lebesgue, inégalités de Hölder, de Minkowski, théorème de Riesz-Fisher. Densité des fonctions continues, convolution, densité des fonctions régulières.

******************************************************************************************

UE Algèbre et Géométrie pour l’enseignement

Prérequis pédagogiques L1
Modules Mathématiques : M1a, M2a

Enjeux du cours
Maîtriser le programme de géométrie du collège et lycée

Contenu du cours
Les triangles : Les droites remarquables des triangles. Les triangles spéciaux, application à la trigonométrie. Égalité et similitude.
Les quadrilatères : Définition, types de quadrilatères et caractérisation.
Les coniques : La classification, attributs géométriques.
Les groupes dans la géométrie : Groupe laissant stable une partie du plan. Le groupe de Frise et le groupe de Pavage.
Espace affine/affine euclidien : Parallélisme, théorème de Thalès. Orientation, angles orientés.