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IST Syllabus L1 Programme UE Analyse 2

 

Semestre 2
54 heures – 6,5 ECTS
18h de CM & 36h de TD

Prérequis pédagogiques
UE Analyse 1

Enjeux
Consolider les bases de l’étude des fonctions d’une variable réelle


Contenu du cours

Suites de nombres réels (4 semaines)

  • Distance sur R, voisinage d’un point de la droite réelle.

  • Définition d’une suite. Exemples des suites arithmétiques, géométriques. Suites croissantes, décroissantes, bornées.

  • Limites de suites, opérations sur les limites, limites usuelles, théorèmes de comparaison.

  • Bornes supérieures et inférieures dans R, théorème des suites monotones, suites adjacentes.

  • Suites extraites, théorème de Bolzano-Weierstrass (admis).

Limites de fonctions, continuité (3 semaines)

  • Définition de limite de fonctions. Opérations sur les limites.

  • Continuité, continuité à gauche, à droite. Prolongement par continuité.

  • Caractérisation séquentielle de la continuité.

  • Application : étude des suites récurrentes du type un+1=f(un) (toile d'araignée).

Propriétés d’une fonction continue sur un intervalle (1,5 semaines)

  • Théorème des valeurs intermédiaires. Preuve avec les suites adjacentes (dichotomie).

  • Image d’un segment par une application continue. Preuve avec le théorème de Bolzano-Weierstrass.

Dérivées, théorème des accroissements finis (2 semaines)

  • Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, inégalité des accroissements finis.

  • Applications : lien entre sens de variation et signe de la dérivée, formule de Taylor-Lagrange.

  • fonctions réciproques