IST Syllabus L1 Programme UE Algèbre linéaire 2

Semestre 2
54 heures – 6,5 ECTS
18h de CM & 36h de TD

Prérequis pédagogiques
UE Analyse 1

Enjeux
Consolider les bases de l’étude des fonctions d’une variable réelle

Contenu du cours

1. Suites de nombres réels (4 semaines)
   1. Distance sur R, voisinage d’un point de la droite réelle.
   2. Définition d’une suite. Exemples des suites arithmétiques, géométriques. Suites croissantes, décroissantes, bornées.
   3. Limites de suites, opérations sur les limites, limites usuelles, théorèmes de comparaison.
   4. Bornes supérieures et inférieures dans R, théorème des suites monotones, suites adjacentes.
   5. Suites extraites, théorème de Bolzano-Weierstrass (admis)

2. Limites de fonctions, continuité (3 semaines)
   1. Définition de limite de fonctions. Opérations sur les limites.
   2. Continuité, continuité à gauche, à droite. Prolongement par continuité.
   3. Caractérisation séquentielle de la continuité.
   4. Application : étude des suites récurrentes du type u_n+1=f(u_n) (toile d'araignée).
3. Propriétés d’une fonction continue sur un intervalle (1,5 semaines)
   1. Théorème des valeurs intermédiaires. Preuve avec les suites adjacentes (dichotomie).
   2. Image d’un segment par une application continue. Preuve avec le théorème de Bolzano-Weierstrass.
4. Dérivées, théorème des accroissements finis (2 semaines)
   1. Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, inégalité des accroissements finis.
   2. Applications : lien entre sens de variation et signe de la dérivée, formule de Taylor-Lagrange.
   3. Fonctions réciproques (1,5 semaines)